Materi Pembelajaran MODERNISASI PENDIDIKAN PESANTREN

KEBERADAAN pesantren yang tetap survive sampai sekarang tentu menjadi kebanggaan tersendiri
bagi umat Islam. Di tengah arus globalisasi, individualisme, dan pola hidup materialistik yang kian
mengental, pesantren masih konsisten menyuguhkan kitab kuning dan sistem pendidikan yang oleh
sebagian orang dianggap tradisional. Pengajaran kitab-kitab kuning (klasik) adalah salah satu elemen
dasar dari tradisi pesantren di samping kiai, pondok, masjid, dan santri.
Doktrin-doktrin dalam kitab kuning, yang senantiasa merujuk Al Quran dan Sunah Nabi sebagai
sumber utama, merupakan salah satu roh yang menjiwai kehidupan pesantren. Seluruh sisi kehidupan
pesantren bersifat religius-teosentris, sehingga semua aktivitas pendidikan dipandang sebagai ibadah
an sich kepada Tuhan. Aktivitas belajar, misalnya, bukan hanya diposisikan sebagai media (alat), tetapi
sekaligus sebagai tujuan. Karena itu, proses belajar-mengajar di pesantren sering kali tidak mengalami
dinamika dan tidak memperhitungkan waktu, strategi, dan metode yang lebih kontekstual dengan
perkembangan zaman.
Padahal, seiring pergeseran zaman, santri membutuhkan formalitas-sebutlah seperti ijazah serta
penguasaan bidang keahlian (keterampilan) tertentu-yang dapat mengantarkannya agar mampu
menjalani kehidupan. Di era modern santri tidak cukup hanya berbekal nilai dan norma moral saja,
tetapi perlu pula dilengkapi dengan keahlian dan skills yang relevan dengan kebutuhan dunia kerja
modern.
Berkaitan dengan hal tersebut, pada dekade terakhir sebagian kaum santri memperlihatkan
kecenderungan untuk mempelajari sains dan teknologi di lembaga-lembaga pendidikan formal di luar
pesantren. Namun, pada saat yang sama mereka juga enggan meninggalkan pesantren sebagai
wahana untuk mendalami agama dan memperteguh nilai-nilai moral. Gejala ini menyiratkan adanya
kegelisahan sebagian kaum santri dalam merespons tuntutan modernisasi yang tak mungkin dielakkan.
Kenyataan di atas seharusnya dapat melecut mereka yang berkompeten dalam pengembangan
pesantren agar melakukan langkah-langkah transformatif, bila pesantren akan dijadikan sebagai
institusi pendidikan yang menjanjikan pada era modern. Kini saatnya bagi pesantren untuk melakukan
reorientasi tata nilai dan tata operasional pendidikannya, agar lebih relevan dengan dinamika
kemodernan, tanpa meninggalkan nilai-nilai tradisional yang telah lama mengakar kuat di pesantren.
uuu
DI antara sekian persoalan dalam sistem pendidikan pesantren, masalah metodologi belajar-mengajar,
visi dan kerangka dasar kurikulum pendidikan sangat penting untuk dikaji ulang dan disempurnakan.
Misalnya, fokus utama metode halaqah sebagai metode bersama antarsantri untuk memahami ajaran
kiai (ustad) dan isi kitab, selama ini masih mengacu pada pertanyaan dari sisi ''apa'' dan guna
''memiliki'' ilmu-ilmu yang diajarkan kepada santri. Dalam praktiknya, metode ini lebih menekankan cara
menghafal tanpa disertai sikap kritis.
Metode halaqah perlu ditingkatkan menjadi forum dialog. Melalui dialog akan berkembang bukan saja
pertanyaan dari segi ''apa'' dan ''memiliki'', tapi juga pertanyaan dan pemahaman tentang ''mengapa''
dan ''bagaimana'' perspektif atau perkembangan ilmu-ilmu tersebut di masa mendatang. Dengan begitu
santri akan memandang ilmu bukan hanya sebagai sesuatu yang harus dimiliki sebagaimana adanya,
tetapi juga memaknainya sebagai sesuatu yang harus dikembangkan, sekaligus sebagai sarana untuk
mengembangkan kepribadian intelektualnya.
Masih berkenaan dengan metode belajar-mengajar, yang tak kalah penting adalah mengenai masa
belajar di pesantren yang relatif panjang. Padahal, prinsip masyarakat modern cenderung
praktis-pragmatis. Prinsip ini tidak hanya berlaku di sektor ekonomi saja, tetapi juga mulai merambah
dunia pendidikan. Masalah ini akan dapat diatasi kalau pesantren mampu melakukan transformasi
terhadap metode belajar-mengajar, kerangka dasar kurikulum, dan visi pendidikannya.
Di banyak pesantren tradisional, pengajaran kitab-kitab kuning berbahasa Arab, baik secara
''bandongan'' dan ''sorogan'', memiliki kelemahan metodologis yang memprihatinkan, karena para
santri tidak dibekali terlebih dahulu dengan keterampilan berbahasa Arab yang memadai. Akibatnya,
santri hanya mampu menguasai kitab yang pernah diajarkan saja, serta lemah dalam mengkaji secara
mandiri kitab-kitab yang belum pernah dipelajari. Kelemahan metodologis ini juga menyebabkan masa
belajar yang ditempuh santri menjadi lebih lama.
Dalam melakukan usaha-usaha transformatif-antisipatoris terhadap sistem pendidikan yang
dijalankan, pesantren perlu mempertimbangkan aspek-aspek substansial. Di antaranya, selayaknya
santri tidak hanya diposisikan sebagai subyek pasif, tetapi harus diperlakukan sebagai subyek yang
aktif-kritis. Di samping itu, salah satu jalan yang bisa dilakukan guna mendorong kreativitas santri
adalah dengan membudayakan tradisi membaca dan menulis. Dengan ini diharapkan mereka menjadi
individu yang dinamis dan responsif terhadap dinamika perubahan sosial, budaya dan politik, tanpa
kehilangan prinsip-prinsip keagamaan sebagai pegangan hidup.
SUMBER TERKAIT :
NIHAYATUL WAFIROH
Editor majalah Iftitah PPP Darussalam Banyuwangi dan alumnus PPP
Al Fathimiyyah Tambakberas Jombang
o v x y z www.smu-net.com ... Portal Pendidikan SMUnet

------------------------------------------------------------------------------------

Kuliah Umum IlmuKomputer.Com Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com TEKNOLOGI JARINGAN KOMPUTER Dian Ardiyansah yaquts@yahoo.com

B. Pendahuluan
Jaringan komputer bukanlah sesuatu yang baru saat ini. Hampir di setiap
perusahaan terdapat jaringan komputer untuk memperlancar arus informasi di
dalam perusahaan tersebut. Internet yang mulai populer saat ini adalah suatu
jaringan komputer raksasa yang merupakan jaringan komputer yang terhubung
dan dapat saling berinteraksi. Hal ini dapat terjadi karena adanya
perkembangan teknologi jaringan yang sangat pesat, sehingga dalam beberapa
tahun saja jumlah pengguna jaringan komputer yang tergabung dalam Internet
berlipat ganda.
C. Jaringan komputer
1. Pengertian
Jaringan komputer adalah sebuah kumpulan komputer, printer dan
peralatan lainnya yang terhubung. Informasi dan data bergerak melalui
kabel-kabel sehingga memungkinkan pengguna jaringan komputer dapat
saling bertukar dokumen dan data, mencetak pada printer yang sama dan
bersama sama menggunakan hardware/software yang terhubung dengan
jaringan. Tiap komputer, printer atau periferal yang terhubung dengan
Lisensi Dokumen:
Copyright © 2004 IlmuKomputer.Com
Seluruh dokumen di IlmuKomputer.Com dapat digunakan, dimodifikasi dan disebarkan
secara bebas untuk tujuan bukan komersial (nonprofit), dengan syarat tidak menghapus atau
merubah atribut penulis dan pernyataan copyright yang disertakan dalam setiap dokumen.
Tidak diperbolehkan melakukan penulisan ulang, kecuali mendapatkan ijin terlebih dahulu
dari IlmuKomputer.Com.
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
jaringan disebut node. Sebuah jaringan komputer dapat memiliki dua,
puluhan, ribuan atau bahkan jutaan node.
Sebuah jaringan biasanya terdiri dari 2 atau lebih komputer yang
saling berhubungan diantara satu dengan yang lain, dan saling berbagi
sumber daya misalnya CDROM, Printer, pertukaran file, atau
memungkinkan untuk saling berkomunikasi secara elektronik. Komputer
yang terhubung tersebut, dimungkinkan berhubungan dengan media kabel,
saluran telepon, gelombang radio, satelit, atau sinar infra merah.
2. Jenis-Jenis jaringan
Ada 3 macam jenis Jaringan/Network yaitu :
a. Local Area Network (LAN) /Jaringan Area Lokal.
Sebuah LAN, adalah jaringan yang dibatasi oleh area yang relatif
kecil, umumnya dibatasi oleh area lingkungan seperti sebuah
perkantoran di sebuah gedung, atau sebuah sekolah, dan biasanya tidak
jauh dari sekitar 1 km persegi.
Beberapa model konfigurasi LAN, satu komputer biasanya di
jadikan sebuah file server. Yang mana digunakan untuk menyimpan
perangkat lunak (software) yang mengatur aktifitas jaringan, ataupun
sebagai perangkat lunak yang dapat digunakan oleh komputerkomputer
yang terhubung ke dalam network. Komputer-komputer
yang terhubung ke dalam jaringan (network) itu biasanya disebut
dengan workstation. Biasanya kemampuan workstation lebih di bawah
dari file server dan mempunyai aplikasi lain di dalam harddisknya
selain aplikasi untuk jaringan. Kebanyakan LAN menggunakan media
kabel untuk menghubungkan antara satu komputer dengan komputer
lainnya.
b. Metropolitan Area Network (MAN) / Jaringan area Metropolitan
Sebuah MAN, biasanya meliputi area yang lebih besar dari LAN,
misalnya antar wilayah dalam satu propinsi. Dalam hal ini jaringan
2
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
menghubungkan beberapa buah jaringan-jaringan kecil ke dalam
lingkungan area yang lebih besar, sebagai contoh yaitu : jaringan Bank
dimana beberapa kantor cabang sebuah Bank di dalam sebuah kota
besar dihubungkan antara satu dengan lainnya.
Misalnya Bank BNI yang ada di seluruh wilayah Ujung Pandang atau
Surabaya.
c. Wide Area Network (WAN) / Jaringan area Skala Besar
Wide Area Networks (WAN) adalah jaringan yang lingkupnya
biasanya sudah menggunakan sarana Satelit ataupun kabel bawah laut
sebagai contoh keseluruhan jaringan BANK BNI yang ada di Indonesia
ataupun yang ada di Negara-negara lain.
Menggunakan sarana WAN, Sebuah Bank yang ada di Bandung
bisa menghubungi kantor cabangnya yang ada di Hongkong, hanya
dalam beberapa menit. Biasanya WAN agak rumit dan sangat
kompleks, menggunakan banyak sarana untuk menghubungkan antara
LAN dan WAN ke dalam Komunikasi Global seperti Internet. Tapi
bagaimanapun juga antara LAN, MAN dan WAN tidak banyak
berbeda dalam beberapa hal, hanya lingkup areanya saja yang berbeda
satu diantara yang lainnya.
3. Protokol
Protokol adalah aturan-aturan main yang mengatur komunikasi
diantara beberapa komputer di dalam sebuah jaringan, aturan itu termasuk
di dalamnya petunjuk yang berlaku bagi cara-cara atau metode mengakses
sebuah jaringan, topologi fisik, tipe-tipe kabel dan kecepatan transfer data.
Protokol-Protokol yang dikenal adalah sebagai berikut :
1. Ethernet
3
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
2. Local Talk
3. Token Ring
4. FDDI
5. ATM
Ethernet
Protocol Ethernet sejauh ini adalah yang paling banyak digunakan,
Ethernet menggunakan metode akses yang disebut CSMA/CD (Carrier Sense
Multiple Access/Collision Detection). Sistem ini menjelaskan bahwa setiap
komputer memperhatikan ke dalam kabel dari network sebelum mengirimkan
sesuatu ke dalamnya. Jika dalam jaringan tidak ada aktifitas atau bersih komputer
akan mentransmisikan data, jika ada transmisi lain di dalam kabel, komputer akan
menunggu dan akan mencoba kembali transmisi jika jaringan telah bersih.
kadangkala dua buah komputer melakukan transmisi pada saat yang sama, ketika
hal ini terjadi, masing-masing komputer akan mundur dan akan menunggu
kesempatan secara acak untuk mentransmisikan data kembali. metode ini dikenal
dengan koalisi, dan tidak akan berpengaruh pada kecepatan transmisi dari
network.
Protokol Ethernet dapat digunakan untuk pada model jaringan Garis
lurus , Bintang, atau Pohon . Data dapat ditransmisikan melewati kabel twisted
pair, koaksial, ataupun kabel fiber optic pada kecepatan 10 Mbps.
4
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
LocalTalk
LocalTalk adalah sebuh protokol network yang di kembangkan oleh Apple
Computer, Inc. untuk mesin-mesin komputer Macintosh . Metode yang digunakan
oleh LocalTalk adalah CSMA/CA (Carrier Sense Multiple Access with Collision
Avoidance). Hampir sama dengan CSMA/CD.. Adapter LocalTalk dan cable
twisted pair khusus dapat digunakan untuk menghubungkan beberapa komputer
melewati port serial. Sistem Operasi Macintosh memungkinkan koneksi secara
jaringan peer-to-peer tanpa membutuhkan tambahan aplikasi khusus
Protokol LocalTalk dapat digunakan untuk model jaringan Garis Lurus ,
Bintang , ataupun model Pohon dengan menggunakan kabel twisted pair .
Kekurangan yang paling mencolok yaitu kecepatan transmisinya. Kecepatan
transmisinya hanya 230 Kbps.
Token Ring
Protokol Token di kembangkan oleh IBM pada pertengahan tahun 1980.
Metode Aksesnya melalui lewatnya sebuah token dalam sebuah lingkaran seperti
Cincin . Dalam lingkaran token, komputer-komputer dihubungkan satu dengan
yang lainnya seperti sebuah cincin. Sebuah Sinyal token bergerak berputar dalam
5
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
sebuah lingkaran (cincin) dalam sebuah jaringan dan bergerak dari sebuah
komputer-menuju ke komputer berikutnya, jika pada persinggahan di salah satu
komputer ternyata ada data yang ingin ditransmisikan, token akan mengangkutnya
ke tempat dimana data itu ingin ditujukan, token bergerak terus untuk saling
mengkoneksikan diantara masing-masing komputer.
Protokol Token Ring membutuhkan model jaringan Bintang dengan
menggunakan kabel twisted pair atau kabel fiber optic . Dan dapat melakukan
kecepatan transmisi 4 Mbps atau 16 Mbps. Sejalan dengan perkembangan
Ethernet, penggunaan Token Ring makin berkurang sampai sekarang.
FDDI
Fiber Distributed Data Interface (FDDI) adalah sebuah Protokol jaringan
yang menghubungkan antara dua atau lebih jaringan bahkan pada jarak yang jauh
. Metode aksesnyayang digunakan oleh FDDI adalah model token . FDDI
menggunakan dua buah topologi ring secara fisik. Proses transmisi baiasanya
menggunakan satu buah ring, namun jika ada masalah ditemukan akan secara
otomatis menggunakan ring yang kedua.
6
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
Sebuah
keuntungan
dari FDDI
adalah
kecepatan
dengan
menggunakan fiber optic cable pada kecepatan 100 Mbps.
ATM
ATM adalah singkatan dari Asynchronous Transfer Mode (ATM) yaitu
sebuah protokol jaringan yang mentransmisikan pada kecepatan 155 Mbps atau
lebih . ATM mentarnsmisikan data kedalam satu paket dimana pada protokol yang
lain mentransfer pada besar-kecilnya paket. ATM mendukung variasi media
seperti video, CD-audio, dan gambar. ATM bekerja pada model topologi Bintang
, dengan menggunakan Kabel fiber optic ataupun kabel twisted pair . ATM pada
umumnya digunakan untuk menghubungkan dua atau lebih LAN . dia juga banyak
7
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
dipakai oleh Internet Service Providers (ISP) untuk meningkatkan kecepatan
akses Internet untuk klien mereka.
Kesimpulan untuk Protokol :
Protokol yang di
pakai
Kabel yang
digunakan
Kecepatan
Transfer
Topology Fisik
Ethernet
Twisted Pair, Coaxial,
Fiber
10 Mbps
Linear Bus, Star,
Tree
Fast Ethernet Twisted Pair, Fiber 100 Mbps Star
LocalTalk Twisted Pair 0.23 Mbps Linear Bus or Star
Token Ring Twisted Pair
4 Mbps - 16
Mbps
Star-Wired Ring
FDDI Fiber 100 Mbps Dual ring
ATM Twisted Pair, Fiber 155-2488 Mbps
Linear Bus, Star,
Tree
4. Perangkat keras yang diperlukan
Perangkat keras yang dibutuhkan untuk membangun sebuah jaringan
komputer yaitu : Komputer, Card Network, Hub, dan segala sesuatu yang
berhubungan dengan koneksi jaringan seperti: Printer, CDROM, Scanner,
Bridges, Router dan lainnya yang dibutuhkan untuk process transformasi
data didalam jaringan.
8
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
1. File Servers
2. Workstations
3. Network Interface Cards
4. Concentrators/Hubs
5. Repeaters
6. Bridges
7. Routers
File Servers
Sebuah file server merupakan jantungnya kebayakan Jaringan, merupakan
komputer yang sangat cepat, mempunyai memori yang besar, harddisk yang
memiliki kapasitas besar, dengan kartu jaringan yang cepat. Sistem operasi
jaringan tersimpan disini, juga termasuk didalamnya beberapa aplikasi dan data
yang dibutuhkan untuk jaringan.
Sebuah file server bertugas mengontrol komunikasi dan informasi diantara
node/komponen dalam suatu jaringan. Sebagai contoh mengelola pengiriman file
database atau pengolah kata dari workstation atau salah satu node, ke node yang
lain, atau menerima email pada saat yang bersamaan dengan tugas yang
lain....terlihat bahwa tugas file server sangat kompleks, dia juga harus menyimpan
informasi dan membaginya secara cepat. Sehingga minimal sebuah file server
mempunyai beberpa karakter seperti tersebut di bawah ini :
 Processor minimal 166 megahertz atau processor yang lebih cepat lagi
(Pentium Pro, Pentium II, PowerPC).
 Sebuah Harddisk yang cepat dan berkapasitas besar atau kurang lebih 10
GB
 Sebuah RAID (Redundant Array of Inexpensive Disks).
 Sebuah tape untuk back up data (contohnya . DAT, JAZ, Zip, atau CDRW
)
 Mempunyai banyak port network
 Kartu jaringan yang cepat dan Reliabilitas
9
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
 Kurang lebih 32 MB memori
Workstations
Keseluruhan komputer yang terhubung ke file server dalam jaringan
disebut sebagai workstation. Sebuah workstation minimal mempunyai ; Kartu
jaringan, Aplikasi jaringan (sofware jaringan), kabel untuk menghubungkan ke
jaringan, biasanya sebuah workstation tidak begitu membutuhkan Floppy karena
data yang ingin di simpan bisa dan dapat diletakkan di file server. Hampir semua
jenis komputer dapat digunakan sebagai komputer workstation.
Network Interface Cards (NIC) atau Kartu Jaringan
Kartu Jaringan (NIC) merupakan perangkat yang menyediakan media
untuk menghubungkan antara komputer, kebanyakan kartu jaringan adalah kartu
inernal, yaitu kartu jaringan yang di pasang pada slot ekspansi di dalam komputer.
Beberapa komputer seperti komputer MAC, menggunakan sebuah kotak khusus
yang ditancapkan ke port serial atau SCSI port komputernya. Pada komputer
notebook ada slot untuk kartu jaringan yang biasa disebut PCMCIA slot.
Kartu jaringan yang banyak terpakai saat ini adalah : kartu jaringan
Ethernet, LocalTalk konektor, dan kartu jaringan Token Ring. Yang saat ini
populer digunakan adalah Ethernet, lalu diikuti oleh Token Ring, dan LocalTalk,
Ethernet Card / Kartu Jaringan Ethernet
Kartu jaringan Ethernet biasanya dibeli terpisah dengan komputer, kecuali
seperti komputer Macintosh yang sudah mengikutkan kartu jaringan ethernet
didalamnya. kartu Jaringan ethernet umumnya telah menyediakan port koneksi
untuk kabel Koaksial ataupun kabel twisted pair, jika didesain untuk kabel
koaksial konenektorya adalah BNC, dan apabila didesain untuk kabel twisted pair
maka akan punya konektor RJ-45. Beberapa kartu jaringan ethernet kadang juga
10
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
punya konektor AUI. Semua itu di koneksikan dengan koaksial, twisted
pair,ataupun dengan kabel fiber optik.
Gambar Kartu Jaringan Ethernet
Dari Atas Ke Bawah :
konektor RJ-45, konektor AUI, dan konektor BNC
LocalTalk Connectors/Konektor LocalTalk
LocalTalk adalah kartu jaringan buat komputer macintosh, ini
menggunakan sebuah kotak adapter khusus dan kabel yang terpasang ke Port
untuk printer. Kekurangan dari LocalTalk dibandingkan Ethernet adalah
kecepatan laju transfer datanya, Ethernet bi Jaringan komputer bukanlah sesuatu
yang baru saat ini. Hampir di setiap perusahaan terdapat jaringan komputer untuk
memperlancar arus informasi di dalam perudahaan tersebut. Internet yang mulai
populer saat ini adalah suatu jaringan komputer raksasa yang merupakan jaringan
jaringan komputer yang terhubungan dan dapat saling berinteraksi. Hal ini dapat
terjadi karena adanya perkembangan teknologi jaringan yang sangat pesat,
sehingga dalam beberapa tahun saja jumlah pengguna jaringan komputer yang
tergabung dalam Internet berlipat ganda.asanya dapat sampai 10 Mbps, sedangkan
LocalTalk hanya dapat beroperasi pada kecepatan 230 Kbps atau setara dengan
0.23 Mps
11
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
Token Ring Cards
Kartu jaringan Token Ring terlihat hampir sama dengan Kartu jaringan Ethernet.
Satu perbedaannya adalah tipe konektor di belakang KArtu jaringannya, Token
Ring umumnya mempunyai tipe konektor 9 Pin DIN yang menyambung Kartu
jaringan ke Kabel Network.
Hub/Konsentrator
Sebuah Konsentrator/Hub adalah sebuah perangkat yang menyatukan kabel-kabel
network dari tiap-tiap workstation, server atau perangkat lain. Dalam topologi
Bintang, kabel twisted pair datang dari sebuah workstation masuk kedalam hub.
Hub mempunyai banyak slot concentrator yang mana dapat dipasang menurut
nomor port dari card yang dituju.
Ciri-ciri yang dimiliki Konsentrator adalah :
 Biasanya terdiri dari 8, 12, atau 24 port RJ-45
 Digunakan pada topologi Bintang/Star
 Biasanya di jual dengan aplikasi khusus yaitu aplikasi yang mengatur
manjemen port tersebut.
 Biasanya disebut hub
 Biasanya di pasang pada rak khusus, yang didalamnya ada Bridges, router
12
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
Repeaters
Contoh yang paling mudah adalah pada sebuah LAN menggunakan topologi
Bintang dengan menggunakan kabel unshielded twisted pair. Dimana diketahui
panjang maksimal untuk sebuah kabel unshileded twisted pair adalah 100 meter,
maka untuk menguatkan sinyal dari kabel tersebut dipasanglah sebuah repeater
pada jaringan tersebut.
Bridges / Jembatan
Adalah sebuah perangkat yang membagi satu buah jaringan kedalam dua
buah jaringan, ini digunakan untuk mendapatkan jaringan yang efisien, dimana
kadang pertumbuhan network sangat cepat makanya di perlukan jembatan untuk
itu. Kebanyakan Bridges dapat mengetahui masing-masing alamat dari tiap-tiap
segmen komputer pada jaringan sebelahnya dan juga pada jaringan yang lain di
sebelahnya pula. Diibaratkan bahwa Bridges ini seperti polisi lalu lintas yang
mengatur di persimpangan jalan pada saat jam-jam sibuk. Dia mengatur agar
informasi di antara kedua sisi network tetap jalan dengan baik dan teratur. Bridges
juga dapat di gunakan untuk mengkoneksi diantara network yang menggunakan
tipe kabel yang berbeda ataupun topologi yang berbeda pula.,.
Routers
Sebuah Router mengartikan informaari dari satu jaringan ke jaringan yang lain,
dia hampir sama dengan Bridge namun agak pintar sedikit, router akan mencari
13
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
jalur yang terbaik untuk mengirimkan sebuah pesan yang berdasakan atas alamat
tujuan dan alamat asal.
Sementara Bridges dapat mengetahui alamat masing-masing komputer di
masing-masing sisi jaringan, router mengetahui alamat komputerr, bridges dan
router lainnya. router dapat mengetahui keseluruhan jaringan melihat sisi mana
yang paling sibuk dan dia bisa menarik data dari sisi yang sibuk tersebut sampai
sisi tersebut bersih.
Jika sebuah perusahaan mempunyai LAN dan menginginkan terkoneksi ke
Internet, mereka harus membeli router. Ini berarti sebuah router dapat
menterjemahkan informasi diantara LAN anda dan Internet. ini juga berarti
mencarikan alternatif jalur yang terbaik untuk mengirimkan data melewati
internet.
Ini berarti Router itu :
 Mengatur jalur sinyal secara effisien
 Mengatur Pesan diantara dua buah protocol
 Mengatur Pesan diantara topologi jaringan linear Bus dan Bintang(star)
 Mengatur Pesan diantara melewati Kabel Fiber optic, kabel koaaksialm atau
kabel twisted pair
5. Topologi/Bentuk Jaringan
Topologi suatu jaringan didasarkan pada cara penghubung sejumlah node
atau sentral dalam membentuk suatu sistem jaringan. Topologi jaringan
yang umum dipakai adalah : Mess, Bintang (Star), Bus, Tree, dan Cincin
(Ring).
14
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
a. Topologi Jaringan Mesh
Topologi jaringan ini menerapkan hubungan antar sentral secara penuh.
Jumlah saluran harus disediakan untuk membentuk jaringan Mesh adalah
jumlah sentral dikurangi 1 (n-1, n = jumlah sentral). Tingkat kerumitan
jaringan sebanding dengan meningkatnya jumlah sentral yang terpasang.
Dengan demikian disamping kurang ekonomis juga relatif mahal dalam
pengoperasiannya.
b. Topologi Jaringan Bintang (Star)
Dalam topologi jaringan bintang, salah satu sentral dibuat sebagai sentral
pusat. Bila dibandingkan dengan sistem mesh, sistem ini mempunyai
tingkat kerumitan jaringan yang lebih sederhana sehingga sistem menjadi
lebih ekonomis, tetapi beban yang dipikul sentral pusat cukup berat.
Dengan demikian kemungkinan tingkat kerusakan atau gangguan dari
sentral ini lebih besar.
c. Topologi Jaringan Bus
15
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
Pada topologi ini semua sentral dihubungkan secara langsung pada
medium transmisi dengan konfigurasi yang disebut Bus. Transmisi sinyal
dari suatu sentral tidak dialirkan secara bersamaan dalam dua arah. Hal ini
berbeda sekali dengan yang terjadi pada topologi jaringan mesh atau
bintang, yang pada kedua sistem tersebut dapat dilakukan komunikasi
atau interkoneksi antar sentral secara bersamaan.
topologi jaringan bus tidak umum digunakan untuk interkoneksi antar
sentral, tetapi biasanya digunakan pada sistem jaringan komputer.
d. Topologi Jaringan Pohon (Tree)
Topologi jaringan ini disebut juga sebagai topologi jaringan bertingkat.
Topologi ini biasanya digunakan untuk interkoneksi antar sentral dengan
hirarki yang berbeda. Untuk hirarki yang lebih rendah digambarkan pada
lokasi yang rendah dan semakin keatas mempunyai hirarki semakin
tinggi. Topologi jaringan jenis ini cocok digunakan pada sistem jaringan
komputer .
e. Topologi Jaringan Cincin (Ring)
Untuk membentuk jaringan cincin, setiap sentral harus dihubungkan seri
satu dengan yang lain dan hubungan ini akan membentuk loop tertutup.
Dalam sistem ini setiap sentral harus dirancang agar dapat berinteraksi
dengan sentral yang berdekatan maupun berjauhan. Dengan demikian
kemampuan melakukan switching ke berbagai arah sentral.
Keuntungan dari topologi jaringan ini antara lain : tingkat kerumitan
jaringan rendah (sederhana), juga bila ada gangguan atau kerusakan pada
suatu sentral maka aliran trafik dapat dilewatkan pada arah lain dalam
sistem.
Yang paling banyak digunakan dalam jaringan komputer adalah jaringan
16
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
bertipe bus dan pohon (tree), hal ini karena alasan kerumitan, kemudahan
instalasi dan pemeliharaan serta harga yang harus dibayar.
Tapi hanya jaringan bertipe pohon (tree) saja yang diakui kehandalannya
karena putusnya salah satu kabel pada client, tidak akan mempengaruhi
hubungan client yang lain.
17
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
DAFTAR PUSTAKA
1. http://www.ai3.itb.ac.id/Tutorial/LAN.html
2. http://www.w3.org/TR/REC-html40
3. http://sunsite.ui.ac.id/student/ristek/sig/infosys/artikel/artikel3/protokol1.htm
18
Kuliah Umum IlmuKomputer.Com
Copyright © 2003 IlmuKomputer.Com
BIOGRAFI PENULIS
Dian Ardiyansah, lahir di Cilacap, 22 Februari 1980.
Menempuh pendidikan SLTP di SMP N Mergo 1993-1995.
kemudian melanjutkan sekolah di STM N Purwokerto
(SMKN 2 Purwokerto) 1995-1998). Saat ini masih kuliah di
Pendidikan Teknik Elektro konsentrasi Instrumentasi Kendali
Universitas Negeri Yogyakarta (Angkatan 99) dan sedang
menyelesaikan Tugas Akhir dengan judul “Rancang Bangun Pembelajaran
Berbasis Web (Studi Kasus Jurusan Pendidikan Teknik Elektro Universitas
Negeri Yogyakarta)” .
Meskipun konsentrasi yang diambil tidak berkaitan erat dengan dunia komputer,
tetapi penulis banyak belajar secara otodidak bidang komputer terutama di bidang
desain web. Hoby mengutak-atik Open sources CMS menjadikannya memiliki
banyak pengetahuan tentang dunia Open Sources CMS. Salah satu situs yang telah
dibuatnya adalah www.masjidku.tk yang merupakan situs tempat penulis
melakukan aktifitas selain di dunia internet.
Informasi lebih lanjut tentang penulis dapat menghubungi:
yaquts@yahoo.com
19

Matematika Dasar, TURUNAN FUNGSI

Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
TURUNAN FUNGSI
Misal diberikan grafik fungsi y = f(x) dengan P ( a, b ) terletak pada kurva f(x).
Bila Q ( x,y) merupakan titik sembarang pada kurva f(x) maka gradien garis PQ dapat
dinyatakan dengan :
m
y b
x a
f x f a
PQ = x a
-
-
=
-
-
( ) ( )
Bila titik Q berimpit dengan dengan titik P maka garis PQ akan merupakan garis
singgung kurva f(x) di P sehingga gradien :
m
f x f a
x a x a
=
-
® -
lim
( ) ( )
Turunan dari fungsi f(x) di titik x = a didefinisikan sebagai gradien dari garis
singgung kurva f(x) di x = a dan diberikan:
f a
f x f a
x a x a
' ( ) lim
( ) ( )
=
-
® -
Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel atau dapat diturunkan di x = a.
Misal h = x - a . Maka turunan f(x) di x = a dapat dituliskan :
f a
f a h f a
h h
'( ) lim
( ) ( )
=
+ -
®0
Notasi lain : f a
df a
dx
dy a
dx
' ( ) y a
( ) ( )
= = = ' ( )
Secara fisis, pengertian dari turunan fungsi f(x) di titik x = a dinyatakan sebagai
kecepatan, V(x) benda yang bergerak dengan lintasan f(x) pada saat x = a. Oleh karena
itu, didapatkan hubungan V(a) = f '(a) dan percepatan , A(x) , A a
dV a
dx
( )
( )
=
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Bila y = f(x) diferensiabel di x = a maka kontinu di x = a. Sifat tersebut tidak
berlaku sebaliknya. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
Contoh
Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0
Jawab :
Fungsi f ( x ) kontinu di x = 0 , sebab f f x
x
(0) lim ( ) 0
0
= =
®
Turunan f ( x ) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut :
f
f h f
h
h
h h h
' ( ) lim
( ) ( )
lim
| |
0
0 0
0 0
=
+ -
=
® ®
Karena - = ¹ =
® - ® +
1 1
0 0
lim
| |
lim
| |
h h
h
h
h
h
maka f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0.
Untuk menentukan turunan suatu fungsi diberikan rumus sebagai berikut :
1. d(x )
dx
r x r R
r
= r-1 ; Î
2. d( f x g x ) ( ) ( )
dx
d f x
dx
d g x
dx
( ) + ( ) ( ) ( )
= +
3.
d (f x g x ) ( ) ( )
dx
g x
d f x
dx
f x
d g x
dx
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
= +
4.
d( ) ( ) ( )
dx
g x d f x f x d g x
g x
f x
g x
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
=
-
2
Soal latihan
( Nomor 1 sd 10 ) Tentukan
dy
dx
dari :
1. y
x
=
-12
2 6
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
2. y
x x
= -
1 1
2
3. y = x ( x2 + 1 )
4. y = (x4 + 2x)(x3 + 2x2 + 1)
5. y = (3x2 + 2x)(x4 - 3x + 1)
6. y
x
=
+
1
3 2 9
7. y
x
x
=
-
-
2 1
1
8. y
x x
x
=
- +
+
2 3 1
2 1
2
9. y
x x
x x
=
- +
+ -
2
2
2 5
2 3
10. y
x x
x
=
+ +
-
5 2 6
3 1
2
( Nomor 11 sd 13 ) Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di nilai yang
diberikan.
11. f x
a x x
x bx x
( )
;
;
=
+ £ <
- ³
ìíîï
3 0 1
2 1 ; x = 1
12. f x
ax b x
x x
( )
;
;
=
- <
- ³
ìíî
2
2 2 1 2 ; x = 2
13. f x
x x
ax b x
( )
;
;
= - <
+ ³
ìí ï
îï
2 1 3
2 3
; x = 3
iklan dipersembahkan oleh FAI Jogja juga Magister RumahSakit dan Magister Manajemen

MATEMATIKA, TURUNAN FUNGSI

11
TURUNAN FUNGSI
(y’ atau f’(x) atau
dx
dy
)
Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :
1. ( )2 ( 2 2 ) a + b = a + 2ab + b
2. ( )2 ( 2 2 ) a - b = a - 2ab + b
3. n
m
n am = a
4. m
m a
a
= - 1
5. (am )n = am.n
6. am.an = am+n
7. am : an = am-n
8. ( )m m m a ×b = a ×b
9. m
m m
b
a
b
a = 




10. a0 =1,dengana ¹ 0
11. (a - b)(a + b) = a2 - b2
A. Turunan Fungsi Aljabar
Rumus turunan fungsi aljabar
1. f(x) = axn
f’(x) = a×nxn-1
2. f(x) = a × x
f’(x) = a
3. f(x) = a
f’(x) = 0
Rumus turunan fungsi aljabar bentuk sederhana
4. f(x) = u × v
f’(x) = u’ × v + u × v’
12
5. f(x) =
v
u
f’(x) = 2
' '
v
u ×v - u×v
Contoh :
1. Tentukan turunan dari f(x) = 2x3 + 3x –4 !
2. Tentukan turunan dari f(x) = 2
3
x !
3. Tentukan turunan dari f(x) = (x – 2)2 !
4. Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = (2x – 1) (x + 2) !
5. Tentukan turunan pertama fungsi f(x) =
x
x2 + 2x !
Penyelesaian :
1. Diketahui f(x) = 2x3 + 3x –4 !
Jawab :
f(x) = 2x3 + 3x – 4
f’(x) = 2 × 3x3-1 + 3 × 1x1-1 – 0
f’(x) = 6x2 + 3
2. Diketahui f(x) = 2
3
x !
Jawab :
f(x) = 2
3
x
f’(x) =



 -



 ×
1
2
3
1
2
3
x
f’(x) =



 -



 2
2
2
3
2
3
x
f’(x) =







 2
1
2
3
x
f’(x) = x
2
3
13
f’(x) =
2
3 x
3. Diketahui f(x) = (x – 2)2 !
Jawab :
f(x) = (x – 2)2 = x2 – 4x + 4
f(x) = x2 – 4x + 4
f’(x) = 2x2-1 – 4x1-1 + 0
f’(x) = 2x – 4
4. Diketahui f(x) = (2x – 1) (x + 2) !
Jawab :
f(x) = (2x – 1) (x + 2)
Misal : u = (2x – 1) ® u’ = 2
v = (x + 2) ® v’ = 1
Maka :
f’(x) = u’ × v + u × v’
f’(x) = 2 × (x + 2) + (2x – 1) × 1
f’(x) = (2x + 4) + (2x – 1)
f’(x) = (4x + 3)
5. Diketahui f(x) =
x
x2 + 2x !
Jawab :
f(x) =
x
x2 + 2x !
Misal : u = x2 + 2x ® u’ = 2x + 2
v = x ® v’ = 1
Maka :
f’(x) = 2
' '
v
u ×v - u×v
14
f’(x) =
( ) ( )
2
2 2 2 2 1
x
x + × x - x + x ×
f’(x) = ( ) ( )
2
2 2 2 2 2
x
x + x - x + x
f’(x) = 2
2 0
x
x +
f’(x) = 1
B. Turunan Fungsi Trigonometri
Rumus fungsi trigonometri :
1. [ x] x
dx
d
cos = -sin
2. [ x] x
dx
d
sin = cos
3. [ x] x
dx
d 2 tan = sec
Rumus-rumus yang lain :
4. [ x] x
dx
d 2 ctg = -cosec
5. [ x] x x
dx
d
sec = -sec × tan
6. [ x] x x
dx
d
cosec = -cosec ×ctg
7. [ (ax b)] a (ax b)
dx
d sin + = cos +
8. [ (ax b)] a (ax b)
dx
d cos + = - sin +
9. [ (ax b)] a x(ax b)
dx
d tan + = - sec2 +
15
Contoh :
Tentukan turunan fungsi berikut :
1. f(x) = 2x + sin x
2. y = 3 + cos x
3. f(x) = 2 sin x + 4 cos x
4. f(x) = x × sin x
5. f(x) = sin x × cos x
Jawab :
1. Diketahui f(x) = 2x + sin x
Jawab :
f(x) = 2x + sin x
f’(x) = 2 + cos x
2. Diketahui y = 3 + cos x
Jawab :
y = 3 + cos x
y’ = 0 + (- sin x)
y’ = - sin x
3. Diketahui f(x) = 2 sin x + 4 cos x
Jawab :
f(x) = 2 sin x + 4 cos x
f’(x) = 2 (cos x) + 4 (- sin x)
f’(x) = 2 cos x - 4 sin x
4. Diketahui f(x) = x × sin x
Jawab :
f(x) = x × sin x
Misal : u = x ® u’ = 1
v = sin x ® v’ = cos x
16
dx
dz
dz
dt
dt
dv
dv
du
du
dy
dx
dy= × × × ×
Maka :
f’(x) = u’ × v + u × v’
f’(x) = 1 × sin x + x × cos x
f’(x) = sin x + x cos x
5. Diketahui f(x) = sin x × cos x
Jawab :
f(x) = sin x × cos x
Misal : u = sin x ® u’ = cos x
v = cos x ® v’ = - sin x
Maka :
f’(x) = u’ × v + u × v’
f’(x) = cos x × cos x + sin x × - sin x
f’(x) = cos2 x – sin2 x
C. Aturan dalil rantai untuk mencari turunan fungsi ( y’ = f’(x) =
dx
dy
)
Contoh :
1. Tentukan turunan pertama fungsi y = (2x2 + 3x)5
Jawab :
y = (2x2 + 3x)5
Misal : u = 2x2 + 3x ®
dx
du
= 4x +3
y = u5 ®
du
dy
= 5u4
17
Maka :
y’ =
dx
dy
y’ =
dx
du
du
dy ×
y’ = 5u4 × (4x +3)
y’ = 5(2x2 + 3x)4 × (4x + 3)
y’ = (2x2 + 3x)4 × (20x + 15)
y’ = (20x + 15) (2x2 + 3x)4
2. Tentukan turunan pertama fungsi y = (4x + 5)3 !
Jawab :
y = (4x + 5)3
y’ = 3 × (4x + 5)3-1 × 4
y’ = 12 (4x + 5)2
3. Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = (x2 + 3)3 !
Jawab :
f(x) = (x2 + 3)3 = ( )2
3
x2 + 3
f’(x) = (x 3) 2x
2
3 1
2
3
× 2 + × - = ( )2
1
3x x2 + 3
f’(x) = 3x (x 2 + 3)
18
D. Interval naik dan turun
Untuk menentukan interval fungsi f(x) naik atau turun adalah :
1. Jika f’(x) > 0 ® fungsi f naik
2. Jika f’(x) < 0 ® fungsi f turun
3. Jika f’(x) = 0 ® fungsi f tidak naik dan tidak turun (stationer)
Contoh :
Tentukan interval f(x) naik, turun, dan koordinat titik stationer dari
( ) 2 3
3
1
f x = 2 + x - x .
Jawab :
( ) 2 3
3
1
f x = 2 + x - x ® f ' (x) = 2x - x2

f(x) naik jika f’(x) > 0
2x – x2 > 0
x (2 – x) > 0
Harga nol :
x = 0 atau 2 – x = 0
x = 2
Jadi, f(x) naik pada interval : 0 < x < 2

f(x) turun jika f’(x) < 0
2x – x2 < 0
x (2 – x) < 0
Harga nol :
x = 0 atau 2 – x = 0
x = 2
Jadi, f(x) naik pada interval : x < 0 atau x > 2
- - - - + + + - - - -
0 2
- - - - + + +
0 2
- - - -
19

f(x) stationer jika f’(x) = 0
2x – x2 = 0
x (2 – x) = 0
Harga nol :
x = 0 atau x = 2
Untuk x = 0 maka nilai 2 3
3
1
y = 2 + x - x ® 2 03
3
1
y = 2 + 0 -
y = 2
Untuk x = 2 maka nilai 2 3
3
1
y = 2 + x - x ® 2 23
3
1
y = 2 + 2 -
y =
3
10
Jadi koordinat titik stationernya (0, 2) dan (2,
3
10
).
( ) 2 3
3
1
f x = 2 + x - x
20
E. Menggambar grafik fungsi aljabar
Cara menggambar grafik fungsi aljabar suku banyak adalah sebagai
berikut:
1. Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat.
2. Tentukan titik-titik stationer dan jenis-jenisnya.
3. Tentukan beberapa titik pada kurva untuk memperhalus gambar.
4. Gambarlah kurva berdasarkan hasil pada point 1, 2 dan 3 diatas.
Contoh :
Gambar grafik ( ) 12 5
2
7
3
1 y = f x = x3 - x2 + x - !
Jawab :
Langkah 1 : Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat.
a. titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0
12 5 0
2
7
3
1 x3 - x2 + x - =
dalam hal ini titik potong dengan sumbu X sukar ditentukan.
f ' (x) = 2x - x2
21
b. titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0
0 12 0 5 5
2
7
0
3
1 y = 3 - 2 + × - = -
titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -5)
Langkah 2 : Menentukan titik stationer dan jenisnya.
Dari ( ) 12 5
2
7
3
1 y = f x = x3 - x2 + x - maka f ' (x) = x2 - 7x +12 .
Nilai stationer dicapai jika f’(x) = 0, sehingga :
Û x2 - 7x +12 = 0
Û (x - 3)(x - 4) = 0
Û x1 = 3 atau x2 = 4
Nilai-nilai stationernya :
Untuk x1 = 3 maka ( )
2
1
3 12 3 5 8
2
7
3
3
1
f 3 = 3 - 2 + × - =
Untuk x2 = 4 maka ( )
3
1
4 12 4 5 8
2
7
4
3
1
f 3 = 3 - 2 + × - =
f(x) naik jika f’(x) > 0, maka :
x2 - 7x +12 > 0
(x - 3)(x - 4) > 0
x < 3 atau x > 4
f(x) turun jika f’(x) < 0, maka :
x2 - 7x +12 < 0
(x - 3)(x - 4) < 0
3 < x < 4
+++ - - -
3 4
+++
+++ - - - +++
3 4
22
Tanda-tanda f’(x) disekitar x = 3 dan x = 4
Berdasarkan bagan diatas maka :

f(3) =
2
1
8 merupakan nilai balik maksimum, sebab f’(x) berubah tanda dari
positif menjadi negatif.

f(3) =
3
1
8 merupakan nilai balik minimum, sebab f’(x) berubah tanda dari
negatif menjadi positif.
Langkah 3 : Ambil beberapa titik tertentu untuk memperhalus kurva
x 1 2 3 4 5
f(x)
6
5
3
3
2
7
2
1
8
3
1
8
6
1
9
Langkah 4 : Beberapa titik yang diperoleh dari langkah-langkah diatas
digambar pada bidang cartesius, sehingga diperoleh grafik
yang diminta.
|
3
|
4
+ + + + - - - - - - + + + +
f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) > 0
23
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0 5
(0, -5)
(1,
6
5
3 )
(2,
3
2
7 )
(3,
2
1
8 )
(4,
3
1
8 )
(5,
6
1
9 )
4 -
8 -
Titik balik
maksimum
Titik balik
minimum
24
F. Menentukan Nilai Stationer
Misalkan y = f(x) maka turunan keduanya adalah y” = f”(x).

Jika y” < 0, maka kurva f cekung (terbuka) ke bawah.

Jika y” > 0, maka kurva f cekung (terbuka) ke atas.
Contoh :
Tentukan interval dimana grafik y = f(x) = 2x4 – 3x2 – x +13
a. cekung ke atas
b. cekung ke bawah
Jawab :
y = f(x) = 2x4 – 3x2 – x +13
y‘ = 8x3 – 6x –1
y” = 24x2 – 6 = 6 (4x2 –1)
a. y cekung ke atas jika y” > 0,
6 (4x2 –1) > 0
6 (2x + 1) (2x –1) > 0
x <
2
1 - atau x >
2
1
Jadi kurva f cekung ke atas pada interval x <
2
1 - atau x >
2
1
.
b. y cekung ke bawah jika y” < 0,
6 (4x2 –1) < 0
6 (2x + 1) (2x –1) < 0
2
1 - < x <
2
1
Jadi kurva f cekung ke bawah pada interval
2
1 - < x <
2
1
.
Misalkan f’(a) = 0 :

Jika f”(a) < 0, maka f(a) merupakan nilai balik maksimum fungsi f.

Jika f”(a) > 0, maka f(a) merupakan nilai balik minimum fungsi f.

Jika f”(a) = 0, maka nilai stationer fungsi f tidak dapat ditentukan.
25
Contoh :
Tentukan nilai-nilai stationer fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
Jawab :
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
f’(x) = 3x2 – 12x + 9
f”(x) = 6x – 12
Titik-titik stationer diperoleh jika f’(x) = 0, maka :
3x2 – 12x + 9 = 0
x2 – 4x + 3 = 0
(x – 1) (x – 3) =0
x = 1 atau x = 3
Untuk x = 1, maka f(1) = 13 – 6 . 12 + 9 . 1 + 1 = 5
Untuk x = 3, maka f(3) = 33 – 6 . 32 + 9 . 3 + 1 = 1
Jadi nilai-nilai stationer f(x) adalah 5 dan 1.
f”(1) = 6 . 1 – 12 = -6 < 0, maka f(1) = 5 merupakan nilai balik maksimum.
f”(3) = 6 . 3 – 12 = 6 > 0, maka f(3) = 1 merupakan nilai balik minimum.
f(x) = 2x4 - 3x2 - x +13
f' (x)= 8x3 - 6x -1
f"(x) = 24x2 - 6
26
f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 1
f'(x) = 3x2 - 12x + 9
f”(x) = 6x -12
27
G. Gradien dan Persamaan Garis Singgung pada Kurva
Gradien garis singgung pada kurva y = f(x) di x = a adalah :
m = f’(a)
=
dx
dy
Contoh :
1. Tentukan gradien dari kurva y = x2 – 4x + 1 dititik (3, -2) !
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 3x + 3 dititik (2, 1) !
Jawab :
1. y = x2 – 4x + 1
y’ = 2x – 4
titik (3, -2) ® (x, y)
maka gradiennya adalah
m = y’
m = 2x – 4
m = 2 . 3 – 4
m = 6 – 4 = 2
2. y = x2 – 3x + 3
y’ = 2x – 3
titik (2, 1) ® (x, y)
maka gradiennya adalah
m = y’
m = 2x – 3
m = 2 . 2 – 3 = 1
Persamaan garis singgung melalui (2, 1) dengan m = 1 adalah
(y - y1) = m (x – x1)
(y – 1) = 1 . (x – 2)
y – 1 = x – 2
y = x – 1
28
SOAL LATIHAN TURUNAN
1. y = x2 – 5x + 6
y’ = ?
2. f(x) = x3 - 3x2 +1
f’(2) = ?
3. f(x) = 2x x + x
f’(x) = ?
4. f(x) = x x + x3 x + x
f’(x) = ?
5. y = 4
3
x
y’ = ?
6. f(x) = x x
f’(x) = ?
7. f(x) =
1
2
x +
x
f’(x) = ?
8. f(x) = 33 x2 + 84 x5
f’(1) = ?
9. f(x) = (2x3 – 5) (x5 + 2)
f’(x) = ?
10. f(x) = 2
2 1 2
3
x x
x + x - +
f’(x) = ?
11. y =
x x
x x
3
2 3
2
2
+
- +
dx
dy = ?
29
12. y =
x2 + 1
x
y’ = ?
13. Suatu fungsi ditentukan dengan f(x) = ax2 + bx +c. Jika f(1) = 6,
f’(0) = 2 dan f’(1) = 4.
Tentukan a, b dan c ?
14. f(x) = x . cos x
f’(x) = ?
15. f(x) = 4 + 3 sin x
f’(x) = ?
16. f(x) = 4 . tan x
f’(x) = ?
17. f(x) = sin (2x2 – x)
f’(x) = ?
18. f(x) = cos x . (sin x +1)
f’(x) = ?
19. f(x) = x
x
x sin
2 + 2 +
f’(x) = ?
20. y = x3 . sin x
dx
dy = ?
21. f(x) =
x
x
cos
1+ sin
f’(x) = ?
22. Persamaan garis singgung y = 2x2 + 3x + 1 pada titik (1, 6)
adalah …
23. Persamaan garis singgung y = 5x2 + 2x -12 pada titik (12, 2)
adalah …
30
24. Gambar grafik fungsi ( ) 2 4
4
2
4
= - x +
x
f x adalah …
25. Gambar grafik fungsi f (x)= x3 - 3x2 + 2 adalah …